Démonstration par récurrence (terminale)

Démonstration par récurrence égalité, inégalité et habillage magique ✨ FICHE ÉCHANTILLON · EXTRAITE DU PACK LUCIENPLUS+ TERMINALE Démontrer qu'une propriété est vraie pour tout entier naturel . 𝑃(𝑛) 𝑛 Les trois étapes : 1. Initialisation : démontrer que la propriété est vraie au premier rang . 2. Hérédité : démontrer que si la propriété est vraie pour un certain rang , alors elle est vraie au rang . 𝑛 𝑛 + 1 3. Conclusion : une simple formalité… une phrase à écrire, toujours la même… d'après l'axiome de récurrence, la propriété est vraie pour tout entier naturel . 𝑛 Remarque : dans cette fi che, l'initialisation se fait au rang . Selon l'énoncé, elle 0 peut se faire au rang , ou à un rang quelconque ; la conclusion vaut alors pour 1 𝑛 0 tout entier supérieur ou égal à . 𝑛 𝑛 0 © 2026 LucienProf® tous droits réservés. Cette fi che est un échantillon du programme LucienPlus+ : elle peut être partagée librement, dans son intégralité et sans modi fi cation. Toutes les fi ches du programme : www.lucienprof.fr/lucienplus [LP+ MANST - D é monstration par r é currence - v202609062215] 1 sur 10

Trois familles de propriétés Il existe trois grandes familles de propriétés qui se démontrent par récurrence : 1. Les propriétés basées sur une égalité 2. Les propriétés basées sur une inégalité 3. Les propriétés basées sur une inégalité : cas des suites 𝑢 𝑛+1 = 𝑓 𝑢 𝑛 ( ) Dans les trois cas, l'initialisation est identique. Seule la méthode pour démontrer l’hérédité change légèrement. Cas 1 : égalité Méthode pour l’étape d’hérédité : prouver directement que est vraie, en 𝑃(𝑛 + 1) injectant l’hypothèse de récurrence “ est vraie” dans le calcul. 𝑃(𝑛) © 2026 LucienProf® tous droits réservés. Cette fi che est un échantillon du programme LucienPlus+ : elle peut être partagée librement, dans son intégralité et sans modi fi cation. Toutes les fi ches du programme : www.lucienprof.fr/lucienplus [LP+ MANST - D é monstration par r é currence - v202609062215] 2 sur 10

Énoncé : Soit la suite dé fi nie sur par : 𝑢 𝑛 ( ) Montrer par récurrence que : Rédaction-type : Soit la propriété : “ ” 𝑃(𝑛) 𝑢 𝑛 = 9 × 2 𝑛 + 5 Initialisation : pour 𝑛 = 0 D’une part : (énoncé) 𝑢 0 = 14 D’autre part : 9 × 2 0 + 5 = 9 × 1 + 5 = 14 Donc et est vraie 𝑢 0 = 9 × 2 0 + 5 𝑃(0) Hérédité : supposons que est vraie, 𝑃(𝑛) montrons alors que est vraie. 𝑃(𝑛 + 1) On a donc prouvé que est vraie. 𝑃(𝑛 + 1) La propriété est héréditaire. Conclusion : On a prouvé que est vraie et que la propriété est 𝑃(0) héréditaire, donc, d’après l’axiome de récurrence : © 2026 LucienProf® tous droits réservés. Cette fi che est un échantillon du programme LucienPlus+ : elle peut être partagée librement, dans son intégralité et sans modi fi cation. Toutes les fi ches du programme : www.lucienprof.fr/lucienplus [LP+ MANST - D é monstration par r é currence - v202609062215] 3 sur 10

Note méthode : à la deuxième ligne de calcul dans l’ hérédité , on remplace à 𝑢 𝑛 l’aide de l’hypothèse de récurrence (c’est-à-dire le fait que l’on a supposé que 𝑃(𝑛) est vraie). Astuce : le geste qui sauve ! Partir de sous sa forme de récurrence, remplacer grâce à 𝑢 𝑛+1 𝑢 𝑛 l'hypothèse de récurrence, puis faire apparaître exactement la forme attendue de . Ne jamais partir de pour « remonter », 𝑃(𝑛 + 1) 𝑃(𝑛 + 1) cela serait immédiatement compté faux ! Cas 2 : inégalité (méthode de l’habillage) Méthode pour l’étape d’hérédité : démarrer par l'hypothèse de récurrence et 𝑃(𝑛) « habiller » (« construire ») l'inégalité en appliquant des opérations de base, étape par étape, jusqu'à obtenir . 𝑃(𝑛 + 1) Énoncé : Soit la suite dé fi nie sur par : 𝑣 𝑛 ( ) Montrer par récurrence que : © 2026 LucienProf® tous droits réservés. Cette fi che est un échantillon du programme LucienPlus+ : elle peut être partagée librement, dans son intégralité et sans modi fi cation. Toutes les fi ches du programme : www.lucienprof.fr/lucienplus [LP+ MANST - D é monstration par r é currence - v202609062215] 4 sur 10

Rédaction-type : Soit la propriété : “ ” 𝑃(𝑛) 3 ≤ 𝑣 𝑛 ≤ 10 Initialisation : pour 𝑛 = 0 D’une part : (énoncé) 𝑣 0 = 10 D’autre part : 3 ≤ 10 ≤ 10 Donc et est vraie 3 ≤ 𝑣 0 ≤ 10 𝑃(0) Hérédité : supposons que est vraie, 𝑃(𝑛) montrons alors que est vraie. 𝑃(𝑛 + 1) On a donc prouvé que est vraie. 𝑃(𝑛 + 1) La propriété est héréditaire. Conclusion : On a prouvé que est vraie et que la propriété 𝑃(0) est héréditaire, donc, d’après l’axiome de récurrence : Note méthode n°1 : pour l’hérédité, on a bien commencé avec l’hypothèse de récurrence, puis procédé avec la technique de l’habillage pour fi nalement prouver que est vraie. 𝑃(𝑛 + 1) © 2026 LucienProf® tous droits réservés. Cette fi che est un échantillon du programme LucienPlus+ : elle peut être partagée librement, dans son intégralité et sans modi fi cation. Toutes les fi ches du programme : www.lucienprof.fr/lucienplus [LP+ MANST - D é monstration par r é currence - v202609062215] 5 sur 10

Note méthode n°2 : dans l’hérédité, il est possible que les bornes obtenues à la fi n de l’habillage ne soient pas exactement celles attendues. Dans ce cas, il est toujours possible d’étendre l’inégalité. Par exemple, si l’on obtient : On peut étendre l’inégalité en : Pour prouver fi nalement que : Important : Lorsque l’on multiplie, ou divise une inégalité par un nombre négatif , l’inégalité change de sens ! Soit : 𝑎 < 0 ● si alors 𝑥 < 𝑦 𝑎𝑥 > 𝑎𝑦 ● si alors 𝑥 ≤ 𝑦 𝑎𝑥 ≥ 𝑎𝑦 ● etc… Astuce : le geste qui sauve ! À chaque étape de l'habillage, une seule opération : ajouter un nombre, multiplier par un nombre, ou appliquer une fonction dont le sens de variation est justi fi é. Écrire la justi fi cation sur la même ligne que l'étape concernée. ↪ La récurrence sert ensuite à encadrer les suites et à trouver leur limite : fi che Limites de suites et théorèmes (pack LucienPlus+ Terminale) © 2026 LucienProf® tous droits réservés. Cette fi che est un échantillon du programme LucienPlus+ : elle peut être partagée librement, dans son intégralité et sans modi fi cation. Toutes les fi ches du programme : www.lucienprof.fr/lucienplus [LP+ MANST - D é monstration par r é currence - v202609062215] 6 sur 10

Cas 3 : suite (habillage magique ✨ ) 𝑢 𝑛+1 = 𝑓 𝑢 𝑛 ( ) Astuce : Si l'énoncé fait étudier les variations d'une fonction avant la récurrence, 𝑓 c'est le signal : utiliser la méthode de l'habillage magique ✨ ! Méthode pour l’étape d’hérédité : appliquer aux membres de l'hypothèse de 𝑓 récurrence, en une seule étape, grâce au sens de variation de démontré à la 𝑓 question précédente. Important : Lorsque l’on applique une fonction aux membres d’une inégalité, on n’oublie pas de justi fi er le résultat : ● Si est croissante, alors le sens de l’inégalité reste le même : 𝑓 ● Si est décroissante, alors le sens de l’inégalité s’inverse : 𝑓 Énoncé : Soit la suite dé fi nie sur par et pour tout : 𝑢 𝑛 ( ) 𝑢 0 = 1 𝑛 © 2026 LucienProf® tous droits réservés. Cette fi che est un échantillon du programme LucienPlus+ : elle peut être partagée librement, dans son intégralité et sans modi fi cation. Toutes les fi ches du programme : www.lucienprof.fr/lucienplus [LP+ MANST - D é monstration par r é currence - v202609062215] 7 sur 10

1. Soit la fonction dé fi nie sur par : 𝑓 ]–2; + ∞[ Montrer que est croissante sur son domaine de dé fi nition. 𝑓 2. Montrer par récurrence que : La première question ne concerne ni les suites, ni la démonstration par récurrence : c'est une étude de fonction. Rédaction-type : 1. est dérivable sur comme quotient de fonctions dérivables 𝑓 ]–2; + ∞[ sur , dont le dénominateur ne s’annule pas sur cet ]–2; + ∞[ intervalle. Et la dérivée de est : 𝑓 Pour tout , donc est croissante sur . 𝑥 ∈ ]–2; + ∞[ 𝑓'(𝑥) > 0 𝑓 ]–2; + ∞[ Pour la question 2, la méthode est la même que dans le cas d’une propriété basée sur une inégalité, et en encore plus simple - car on a prouvé que la fonction est 𝑓 croissante . On peut donc procéder à un habillage magique ✨ : © 2026 LucienProf® tous droits réservés. Cette fi che est un échantillon du programme LucienPlus+ : elle peut être partagée librement, dans son intégralité et sans modi fi cation. Toutes les fi ches du programme : www.lucienprof.fr/lucienplus [LP+ MANST - D é monstration par r é currence - v202609062215] 8 sur 10

Rédaction-type : 2. Soit la propriété : “ ” 𝑃(𝑛) 0 ≤ 𝑢 𝑛 ≤ 𝑢 𝑛+1 ≤ 4 Initialisation : pour 𝑛 = 0 D’une part : (énoncé) 𝑢 0 = 1 D’autre part : 𝑢 1 = 5×1+4 1+2 = 3 Or, , 0 ≤ 1 ≤ 3 ≤ 4 Donc et est vraie 0 ≤ 𝑢 0 ≤ 𝑢 1 ≤ 4 𝑃(0) Hérédité : supposons que est vraie, 𝑃(𝑛) montrons alors que est vraie. 𝑃(𝑛 + 1) Or, , donc 0 ≤ 2 0 ≤ 𝑢 𝑛+1 ≤ 𝑢 𝑛+2 ≤ 4 et est vraie 𝑃(𝑛 + 1) On a donc prouvé que est vraie. 𝑃(𝑛 + 1) La propriété est héréditaire. Conclusion : On a prouvé que est vraie et que la propriété 𝑃(0) est héréditaire, donc, d’après l’axiome de récurrence : Astuce : le geste qui sauve ! Contrôler que les bornes et obtenues sont bien celles de la 𝑓(𝑎) 𝑓(𝑏) propriété . Sinon, étendre l'inégalité comme au cas 2 : ici, la borne 2 obtenue est étendue à la borne attendue. 0 © 2026 LucienProf® tous droits réservés. Cette fi che est un échantillon du programme LucienPlus+ : elle peut être partagée librement, dans son intégralité et sans modi fi cation. Toutes les fi ches du programme : www.lucienprof.fr/lucienplus [LP+ MANST - D é monstration par r é currence - v202609062215] 9 sur 10

Attention à ces erreurs ! ● Écrire « supposons vraie pour tout » : c'est supposer ce que 𝑃(𝑛) 𝑛 l'on veut démontrer, la démonstration est invalidée. La bonne rédaction : « supposons que est vraie pour un certain rang » 𝑃(𝑛) 𝑛 ● Oublier l'initialisation , ou l'expédier sans calcul explicite des deux membres. ● Dans une hérédité par égalité, partir de et « remonter » 𝑃(𝑛 + 1) jusqu'à . 𝑃(𝑛) ● Appliquer une fonction à une inégalité et ne pas justi fi er son sens de variation . ● Oublier la phrase de conclusion avec l'axiome de récurrence : elle fait partie du barème. Récurrence maîtrisée. Prochaine étape : les limites ! Limites de suites et théorèmes , puis la fi che qui lève n'importe quelle forme indéterminée, celle que les élèves gardent jusqu'au bac. Dans le pack LucienPlus+ Terminale, avec Exercice type BAC Suites et les chapitres suivants dans le même format. « reprend point par point chaque notion » · Avis d'élèves LucienProf® · 153 avis 5/5 www.lucienprof.fr/lucienplus © 2026 LucienProf® tous droits réservés. Cette fi che est un échantillon du programme LucienPlus+ : elle peut être partagée librement, dans son intégralité et sans modi fi cation. Toutes les fi ches du programme : www.lucienprof.fr/lucienplus [LP+ MANST - D é monstration par r é currence - v202609062215] 10 sur 10