Trigonométrie (première)

Trigonométrie Dé fi nitions et fonctions trigonométriques FICHE ÉCHANTILLON · EXTRAITE DU PACK LUCIENPLUS+ PREMIÈRE 1. Le cercle trigonométrique Dans un repère orthonormé , le cercle trigonométrique est (𝑂; 𝐼; 𝐽) le cercle de centre et de rayon , parcouru de vers . 𝑂 1 𝐼 𝐽 Le sens de parcours “inverse des aiguilles d'une montre”, est appelé le “sens direct” (ou sens trigonométrique) Les points et sont les points de base du repère 𝐼(1; 0) 𝐽(0; 1) © 2026 LucienProf® tous droits réservés. Cette fi che est un échantillon du programme LucienPlus+ : elle peut être partagée librement, dans son intégralité et sans modi fi cation. Toutes les fi ches du programme : www.lucienprof.fr/lucienplus [LP+ MGMT1 - Trigonométrie - dé fi nitions et fonctions trigonométriques - v202609062216] 1 sur 12

2. Du degré au radian Un angle peut se mesurer en degrés (noté : ) ou en radians (noté : ). ° 𝑟𝑎𝑑 Et ces deux mesures sont proportionnelles ! Astuce : Pour convertir des degrés en radians (ou le contraire), il suf fi t de se rappeler que et d’utiliser un tableau de proportionnalité 180° = π 𝑟𝑎𝑑 (produit en croix). Règle d’or : Énoncé : Convertir en radian, puis en degré. α = 210° θ = 3π 4 𝑟𝑎𝑑 Rédaction-type : © 2026 LucienProf® tous droits réservés. Cette fi che est un échantillon du programme LucienPlus+ : elle peut être partagée librement, dans son intégralité et sans modi fi cation. Toutes les fi ches du programme : www.lucienprof.fr/lucienplus [LP+ MGMT1 - Trigonométrie - dé fi nitions et fonctions trigonométriques - v202609062216] 2 sur 12

3. Enroulement de la droite des réels On imagine la droite des réels, tangente au cercle trigonométrique au point , que l'on 𝐼 enroule autour du cercle. À tout réel de la droite des réels, α correspond un unique point du cercle 𝑀 trigonométrique, tel que la longueur de l’arc vaut . 𝐼𝑀 α On dit que est le point-image de . 𝑀 α Et l’angle a pour mesure . 𝐼𝑂𝑀 α 𝑟𝑎𝑑 À savoir : Étant donné que le périmètre du cercle trigonométrique (de rayon ) a 1 pour valeur , alors ajouter ou retrancher , c'est faire un tour 2π 2π complet : on revient exactement au même point . © 2026 LucienProf® tous droits réservés. Cette fi che est un échantillon du programme LucienPlus+ : elle peut être partagée librement, dans son intégralité et sans modi fi cation. Toutes les fi ches du programme : www.lucienprof.fr/lucienplus [LP+ MGMT1 - Trigonométrie - dé fi nitions et fonctions trigonométriques - v202609062216] 3 sur 12

Mesure principale Comme il existe une in fi nité de réels qui ont le même point-image, on dé fi nit la mesure principale d’un angle comme étant l’unique réel de l’intervalle dont le point image correspond à cet ]–π; π] angle . Énoncé : Quel réel de l'intervalle a le même point-image que ? [0; 2π[ 25π 6 Rédaction-type : Deux réels ont le même point-image si leur différence est un multiple de . On retranche donc des jusqu’à “arriver” dans le bon intervalle : 2π 2π Comme appartient à , le réel cherché est . π 6 [0; 2π[ π 6 © 2026 LucienProf® tous droits réservés. Cette fi che est un échantillon du programme LucienPlus+ : elle peut être partagée librement, dans son intégralité et sans modi fi cation. Toutes les fi ches du programme : www.lucienprof.fr/lucienplus [LP+ MGMT1 - Trigonométrie - dé fi nitions et fonctions trigonométriques - v202609062216] 4 sur 12

4. Cosinus et sinus d’un réel Soit le point-image du réel sur le cercle 𝑀 𝑥 trigonométrique. L'abscisse de est le cosinus de , noté 𝑀 𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝑥) L'ordonnée de est le sinus de , noté 𝑀 𝑥 𝑠𝑖𝑛(𝑥) Autrement dit, a pour coordonnées : 𝑀 Important : Pour tout réel : 𝑥 La formule se retrouve : 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑥) + 𝑠𝑖𝑛 2 (𝑥) = 1 ● avec le théorème de Pythagore dans le triangle , rectangle en : 𝑂𝑁𝑀 𝑁 𝑂𝑁 2 + 𝑁𝑀 2 = 𝑂𝑀 2 ⇔ 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑥) + 𝑠𝑖𝑛 2 (𝑥) = 1 Car 𝑂𝑀 = 1 (le cercle trigonométrique est de rayon ) 1 © 2026 LucienProf® tous droits réservés. Cette fi che est un échantillon du programme LucienPlus+ : elle peut être partagée librement, dans son intégralité et sans modi fi cation. Toutes les fi ches du programme : www.lucienprof.fr/lucienplus [LP+ MGMT1 - Trigonométrie - dé fi nitions et fonctions trigonométriques - v202609062216] 5 sur 12

● avec la formule de la distance : 𝑂𝑀 = 𝑥 𝑀 2 + 𝑦 𝑀 2 ⇔ 1 = 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑥) + 𝑠𝑖𝑛 2 (𝑥) ⇔ 1 2 = 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑥) + 𝑠𝑖𝑛 2 (𝑥) ⇔ 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑥) + 𝑠𝑖𝑛 2 (𝑥) = 1 Astuce : Grâce à la formule : 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑥) + 𝑠𝑖𝑛 2 (𝑥) = 1 ● Si l’on connaît le cosinus d’un angle, on peut retrouver son sinus ● Si l’on connaît le sinus d’un angle, on peut retrouver son cosinus ⚠ Attention : à cause des carrés, il y a deux valeurs possibles… il faut connaître une information supplémentaire sur l’angle pour décider. Énoncé : On sait que et que . 𝑐𝑜𝑠(𝑥) = 3 5 𝑥 ∈ [0; π 2 ] Déterminer la valeur exacte de . 𝑠𝑖𝑛(𝑥) Rédaction-type : Pour tout réel , on a : 𝑥 © 2026 LucienProf® tous droits réservés. Cette fi che est un échantillon du programme LucienPlus+ : elle peut être partagée librement, dans son intégralité et sans modi fi cation. Toutes les fi ches du programme : www.lucienprof.fr/lucienplus [LP+ MGMT1 - Trigonométrie - dé fi nitions et fonctions trigonométriques - v202609062216] 6 sur 12

Donc : Ainsi : Or , donc le point image de possède une abscisse positive 𝑥 ∈ [0; π 2 ] 𝑀 𝑥 et une ordonnée positive. En particulier, son ordonnée est positive, soit . 𝑠𝑖𝑛(𝑥) > 0 Finalement, . 𝑠𝑖𝑛(𝑥) = 4 5 Propriétés de la fonction cosinus La fonction cosinus : ● est paire : , ∀ 𝑥 ∈ 𝑐𝑜𝑠(–𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) (donc sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées) ● est périodique de période : , 2π ∀ 𝑥 ∈ 𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 2π) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) © 2026 LucienProf® tous droits réservés. Cette fi che est un échantillon du programme LucienPlus+ : elle peut être partagée librement, dans son intégralité et sans modi fi cation. Toutes les fi ches du programme : www.lucienprof.fr/lucienplus [LP+ MGMT1 - Trigonométrie - dé fi nitions et fonctions trigonométriques - v202609062216] 7 sur 12

Propriétés de la fonction sinus La fonction sinus : ● est impaire : , ∀ 𝑥 ∈ 𝑠𝑖𝑛(–𝑥) = –𝑠𝑖𝑛(𝑥) (donc sa courbe est symétrique par rapport à l’origine du repère) ● est périodique de période : , 2π ∀ 𝑥 ∈ 𝑠𝑖𝑛(𝑥 + 2π) = 𝑠𝑖𝑛(𝑥) 5. Valeurs remarquables © 2026 LucienProf® tous droits réservés. Cette fi che est un échantillon du programme LucienPlus+ : elle peut être partagée librement, dans son intégralité et sans modi fi cation. Toutes les fi ches du programme : www.lucienprof.fr/lucienplus [LP+ MGMT1 - Trigonométrie - dé fi nitions et fonctions trigonométriques - v202609062216] 8 sur 12

Astuce : reconstruire le tableau des valeurs remarquables en 3 temps ! Aucune de ces valeurs ne s'apprend par cœur. Elles se reconstruisent , dans cet ordre, en suivant les couleurs du tableau : ● Tout d’abord, grâce au cercle trigonométrique, on retrouve facilement les valeurs des sinus et cosinus pour les angles et . 0 π 2 ● Ensuite, les chiffres bleus : ○ Pour le sinus ils montent : 1, 2, 3 , car la fonction sinus est croissante sur . [0; π 2 ] ○ Pour le cosinus ils descendent : 3, 2, 1 , puisque la fonction cosinus y est décroissante. ● Puis une racine carrée pour tout le monde, en rouge. Chaque chiffre passe sous une racine . Et comme la racine de 1 vaut 1, la racine des cases qui valent 1 ne sert à rien : elle est dessinée à peine visible pour rappel. ● Tout le monde prend "sur 2", en vert. Toutes ces valeurs, sans exception, ont 2 au dénominateur . La trigo ne s'arrête pas là. Formules d'addition, de duplication, équations trigonométriques : Trigonométrie - formules et équations prend le relais exactement ici. Dans le pack LucienPlus+ Première, avec Produit scalaire , Dérivation et les chapitres suivants dans le même format. « reprend point par point chaque notion » · Avis d'élèves LucienProf® · 153 avis 5/5 www.lucienprof.fr/lucienplus © 2026 LucienProf® tous droits réservés. Cette fi che est un échantillon du programme LucienPlus+ : elle peut être partagée librement, dans son intégralité et sans modi fi cation. Toutes les fi ches du programme : www.lucienprof.fr/lucienplus [LP+ MGMT1 - Trigonométrie - dé fi nitions et fonctions trigonométriques - v202609062216] 9 sur 12

Énoncé : Calculer : Donner le résultat sous forme d’une fraction. Rédaction-type : On sait que et . Donc : 𝑐𝑜𝑠 π 3 ( ) = 1 2 𝑠𝑖𝑛 π 3 ( ) = 3 2 6. Résoudre graphiquement une équation ou une inéquation © 2026 LucienProf® tous droits réservés. Cette fi che est un échantillon du programme LucienPlus+ : elle peut être partagée librement, dans son intégralité et sans modi fi cation. Toutes les fi ches du programme : www.lucienprof.fr/lucienplus [LP+ MGMT1 - Trigonométrie - dé fi nitions et fonctions trigonométriques - v202609062216] 10 sur 12

Méthode : 1. Pour une équation en cosinus, tracer la droite verticale d'abscisse la valeur cherchée. Pour une équation en sinus, tracer la droite horizontale d'ordonnée la valeur cherchée. 2. Repérer les points d'intersection de cette droite avec le cercle : ce sont les points-images des solutions. 3. Lire les réels associés à ces points, en restant dans l'intervalle demandé. 4. Pour une inéquation, colorier l'arc de cercle situé du bon côté de la droite , puis lire l'intervalle correspondant. Astuce : le ré fl exe qui sauve ! Les solutions d'une équation en cosinus sont symétriques par rapport à l' axe des abscisses : elles sont opposées . Celles d'une équation en sinus sont symétriques par rapport à l' axe des ordonnées : elles sont supplémentaires . Énoncé : Sur l’intervalle , résoudre l’équation : ]–π; π] puis l’inéquation : © 2026 LucienProf® tous droits réservés. Cette fi che est un échantillon du programme LucienPlus+ : elle peut être partagée librement, dans son intégralité et sans modi fi cation. Toutes les fi ches du programme : www.lucienprof.fr/lucienplus [LP+ MGMT1 - Trigonométrie - dé fi nitions et fonctions trigonométriques - v202609062216] 11 sur 12

Rédaction-type : Résolution de : (𝐸) Cette équation concerne “cosinus” donc sur le cercle trigonométrique, on trace la droite d’équation . 𝑥 = – 1 2 Elle coupe le cercle en deux points, images des réels et . – 2π 3 2π 3 Ainsi, l’ensemble des solutions de est : (𝐸) Résolution de : (𝐼) Cette inéquation concerne “sinus” donc sur le cercle trigonométrique, on trace la droite d’équation . 𝑦 = – 1 2 Elle coupe le cercle en deux points, images des réels et . – 5π 6 – π 6 Comme on cherche les valeurs de sinus supérieures à , alors, – 1 2 l’ensemble des solutions de est : (𝐼) ↪ Résoudre ces équations par le calcul, sans passer par le cercle : fi che Trigonométrie - formules et équations (pack LucienPlus+ Première) © 2026 LucienProf® tous droits réservés. Cette fi che est un échantillon du programme LucienPlus+ : elle peut être partagée librement, dans son intégralité et sans modi fi cation. Toutes les fi ches du programme : www.lucienprof.fr/lucienplus [LP+ MGMT1 - Trigonométrie - dé fi nitions et fonctions trigonométriques - v202609062216] 12 sur 12